VECTORES

ESCALARES Y VECTORES

Cuando un automóvil viaja durante una hora a 40 km/h, no se puede saber en qué lugar se encuentra al cabo de ese tiempo, porque no se sabe la dirección en la que ha viajado. Hay muchas magnitudes físicas, como por ejemplo, la velocidad, en la que hay que especificar una dirección para describirlas completamente.

Por ejemplo, si se sabe que el automóvil anterior se movía hacia el sur, ya no se tiene el problema de antes. Por supuesto, hay también muchas magnitudes, como el tiempo, que no depende de la dirección. Así, diciendo que el tiempo es de una hora, se describe completamente esta magnitud.

Son escalares las magnitudes que se describen con un valor y una unidad.
Son vectoriales las magnitudes que se describen usando un valor, una unidad y una dirección. Las magnitudes vectoriales se representan a través de vectores y tienen las siguientes características:

Origen o punto de aplicación: indicado por el inicio de la flecha.
Módulo: indicado por la longitud de la flecha.
Dirección: indicado por el ángulo que forma con el eje X.
Sentido: indicado por el extremo de la flecha.

Veamos el vector A, ubicado en el plano cartesiano.

La notación de un vector se realiza con una letra mayúscula resaltada con negrita como generalmente aparece en los libros (R, F, A, etc.) o con una flecha en la parte superior (R, F, A, etc.).

Componentes de un vector

Las componentes cartesianas de un vector, son los vectores que se obtienen al proyectarlo sobre los ejes de un sistema de coordenadas situado en el origen del vector. Así, podemos expresar el vector rojo como (4, 3), indicando con ello que su componente X es 4 y su componente Y es 3.

GENERALIDADES DE LOS VECTORES

De tal manera que, en los tres vectores anteriores tenemos que:

J igual a A

J opuesto a M

A opuesto a M

Dos o más vectores se consideran paralelos, cuando la distancia que los separa es constante, sin importar el sentido o magnitud que tengan.

Suma de vectores

Método gráfico

Método analítico

Para sumar vectores por medio del análisis matemático, se suman directamente las magnitudes, solo si son paralelos y de igual sentido.

Ejemplos:

Dados los vectores:

A = 4 m/s en sentido X y el vector C = 6 m/s en sentido de X, calcular la suma de los vectores A y C.

Solución: Como A y C tienen igual sentido, A + C = 4 + 6 = 10 m/s en sentido de X.

Dados los vectores A = 4 m/s en sentido -X y el vector C = 6 m/s en sentido de X. calcular la suma A + C.

Solución: Como A y C tienen diferente sentido, A + C = -4 + 6 = 2 m/s en sentido de X.

Si su dirección y sentido son diferentes, se deben definir las componentes del vector, consideremos un vector J, cuya parte inicial coincide con el origen y forma un ángulo q con el eje X positivo.

Si se une cada eje por medio de una línea perpendicular desde el final del vector, se forma un triángulo ABC, en donde el lado AB es la componente en X Jx del vector, y el lado BC es la componente en Y Jy del vector

Analizando la anterior gráfica y aplicando la definición de las funciones trigonométricas se obtiene:

Otra expresión útil, para encontrar la magnitud del vector J, se obtiene a partir de la aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo de la anterior gráfica:

Las barras de la J, representan que es la magnitud del vector J.

Una vez obtenidas las componentes de los vectores a sumar, se debe sumar todas las componentes en X, y luego todas las componentes en Y de los vectores, estos resultados son las componentes del vector resultante.

Para obtener la magnitud de este vector, se debe aplicar el Teorema de Pitágoras, teniendo como catetos las componentes del vector resultante.

Ejercicio resuelto:

Hallar las componentes de los vectores A, B y C, utilizados en el ejercicio de suma por el método gráfico, y luego calcular los valores de las magnitudes de los vectores suma, resueltos gráficamente:

Ahora, calcular las componentes para al vector B y C, siguiendo el mismo procedimiento.

Sumar las componentes de los vectores correspondientes a cada operación, y luego, calcular la magnitud del respectivo vector suma.

Solución:

A + B

A + B + C

A + B = R se llama R al vector resultante, este vector debe tener tanto componente en X como en Y se obtienen sumando Ax + Bx para Rx y Ay +By para Ry, así:

Rx = Ax + Bx = [18,12 m + (-25,9 m)] = -7,78 m

Rx = Ax + Bx = (8,45 m + 15 m) = 23,45 m

Entonces el vector suma tiene las componentes -7.78 m en el eje X y 23.45 m en el eje Y. Y la magnitud es: